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函数的周期性与对称性

口诀：同周期，异对称，异异心，双对称出周期

看$x$:同周异对; 看$y,f$同号轴对称,$f$异号中心对称

周期性：

$(1)f(x+a)=f(x+b)\Rightarrow T=|a-b|;$

$(2)f(x+a)=\frac{m}{f(x)}(m\ne 0)\iff f(x)f(x+a)=m\Rightarrow T=2a$

$(3)f(x+a)=-f(x)+c\iff f(x)+f(x+a)=c\Rightarrow T=2a;$

$(4)f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;$

$(5)f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;$

对称性：

$(1)f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=a\mathrm{对}\mathrm{称};$

$(2)f(x)=f(2a-x)\Rightarrow f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=a\mathrm{对}\mathrm{称};$

$(3)f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=\frac{a+b}{2}\mathrm{对}\mathrm{称}$

$(4)f(a+x)=-f(a-x)⟺f(a+x)+f(a-x)=0$则$f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(a,0)$对称;

$(5)f(x)=-f(2a-x)⟺f(x)+f(2a-x)=0\mathrm{则}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(a,0)\mathrm{对}\mathrm{称};$

$(6)f(a+x)=-f(b-x)⟺f(a+x)+f(b-x)=0\mathrm{则}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(\frac{a+b}{2},0)\mathrm{对}\mathrm{称};$

$(7)f(a+x)=2c-f(b-x)⟺f(a+x)+f(b-x)=2c\mathrm{则}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(\frac{a+b}{2},c)\mathrm{对}\mathrm{称};$

$(8)f(x+a)\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\iff f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=a\mathrm{对}\mathrm{称};$（复合函数的对称性）

$(9)f(x+a)\mathrm{是}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\iff f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(a,0)\mathrm{对}\mathrm{称};$（复合函数的对称性）

1、函数$f(x)\mathrm{对}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{满}\mathrm{足}f(x+2)=\frac{1}{f(x)}，\mathrm{若}f(1)=-5,\mathrm{则}f(f(5))=()$

$A.-5B.5.C.\frac{1}{5}D.-\frac{1}{5}$

$2、\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{是}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{在}R\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{且}f(x+2)=-f(x),\mathrm{若}f(1)=1,\mathrm{则}f(3)-f(4)=()$

$A.-1B.1C.-2D.2$

$3、\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{是}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{在}R\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{且}f(x+4)=f(x-2),\mathrm{若}\mathrm{当}-3\le x\le 0\mathrm{时}，f(x)=6^{-x},\mathrm{则}f(919)=()$

如果理解?$f(1+x)=f(1-x),\{\begin{array}{l}f(1)\stackrel{\mathrm{左}\mathrm{称}x}{\to }f(1+x)\\ f(1)\stackrel{\mathrm{右}\mathrm{移}x}{\to }f(1-x)\end{array}\Rightarrow f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{对}\mathrm{称}$

如果区分轴对称和中心对称？去掉常数$\Rightarrow$奇函数，偶函数。$f(x+2)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}x=-2\mathrm{对}\mathrm{称}，\Rightarrow f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=0$对称；

$f(x)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{且}f(x)=f(2-x)\Rightarrow f(x)\mathrm{的}T=4$
双对称出周期
$(1)\mathrm{若}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}x=a，x=b\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称}，\mathrm{则}T=2|b-a|；$
$(2)\mathrm{若}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}(a,0)，(b,0)\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{对}\mathrm{称}，\mathrm{则}T=2|b-a|；$
$(3)\mathrm{若}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}x=a\mathrm{和}(b,0)\mathrm{对}\mathrm{称}，\mathrm{则}T=4|b-a|;$

巳知函数$f(x)\mathrm{满}\mathrm{足}y=f(-x)\mathrm{和}f(x+2)$都是偶函数，且$f(1)=1，\mathrm{则}f(-1)+f(7)=$( )

$A.0,B.1;C.2;D.3$

已知函数$f(x)=\ln x+\ln (2-x),\mathrm{则}$（）

$A.f(x)\mathrm{在}(0,2)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}。B.f(x)\mathrm{在}(0，2)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{减}。C.y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{对}\mathrm{称}。D.y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}(1,0)\mathrm{对}\mathrm{称}。$

两个函数的对称性

$f(x)\mathrm{与}-f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x$轴对称。
$f(x)\mathrm{与}f(-x)\mathrm{与}\mathrm{关}\mathrm{于}y$轴对称。
$f(x)\mathrm{与}f(2a-x)\mathrm{与}\mathrm{关}\mathrm{于}x=a$轴对称。
$f(x)\mathrm{与}2b-f(2a-x)\mathrm{关}\mathrm{于}(a，b)$对称。
$f(x)\mathrm{与}2a-f(x)\mathrm{与}\mathrm{关}\mathrm{于}y=a$轴对称。
$f(a-x)\mathrm{与}f(x-b)\mathrm{与}\mathrm{关}\mathrm{于}x=\frac{a+b}{2}$对称。