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公式法：[[等比数列]][[高二数列]]

分组求和

并项求和法

形如：$a_n=(-1{)}^{n}f(n)$类型的

错位相减法

裂项相减法

常用的公式：
①．$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
②. $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$
③. $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
④. $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
⑤. $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})$

常用求和公式：
①．$1+2+3+4+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$
②. $1+3+5+7+\cdots +(2n-1)=n^2$
③. $1^2+2^2+3^3+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
④. $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$

例1、数列$\{a_n\}$的前n项和$S_n$满足$S_n=a_{n+1}-1,n\in N^{\ast },\mathrm{且}{a}_1=1.$
(1)求$a_n$;
(2)设$b_n=(-1{)}^n(a_n-1)$,求数列$\{b_n\}$的前2n项和$T_{2n}$.

例2、23年全国甲卷，记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前n项和，已知$a_2=1,2S_n=n{a}_n.$
(1)求$\{a_n\}$的通项公式;
(2)求数列$\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\}$的前n项和$T_n$.

例3、在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1,a_2=3,a_3=7$,且数列$\{a_{n+1}-a_n\}$为等比数列。
(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式;
(2)令$b_n=(2n-1)a_n$,求数列$\{b_n\}$的前n项和$S_n$.

例4、22年新高考I，记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前n项和，已知$a_1=1,\frac{S_n}{a_n}$是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列。
(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式;
$\frac{S_n}{a_n}=1+(n-1)\cdot \frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}\Rightarrow S_n=a_n\cdot \frac{n+2}{3}$
$n\ge 2\mathrm{时},\frac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{3}\Rightarrow S_{n-1}=a_{n-1}\cdot \frac{n+1}{3}$
$a_n=a_n\cdot \frac{n+2}{3}-a_{n-1}\cdot \frac{n+1}{3}$
$a_n\cdot \frac{n-1}{3}=a_{n-1}\cdot \frac{n+1}{3}\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$
$\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdots \times \frac{a_2}{a_1}=\frac{n+1}{n-1}\cdot \frac{n}{n-2}\cdot \frac{n-1}{n-3}\times \cdots \times \frac{5}{3}\times \frac{4}{2}\times \frac{3}{1}$
$\frac{a_n}{a_1}=\frac{(n+1)\times n}{2\times 1}$
(2)证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots +\frac{1}{a_n}<2$

例5、记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前n项和，已知$a_1=1,\frac{S_n}{a_{n+1}}-\frac{S_n}{a_n}=-\frac{1}{2}.$
$\mathrm{或}\frac{S_n}{a_{n+1}}-\frac{S_{n-1}}{a_n}=\frac{1}{2}.$
(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式;
$\frac{S_{n+1}-a_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{S_n}{a_n}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{S_{n+1}}{a_{n+1}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{1}{2}$
$\frac{S_n}{a_n}=1+\frac{1}{2}(n-1)=\frac{n+1}{2}$
$S_n=\frac{n+1}{2}{a}_n\Rightarrow n\ge 2\mathrm{时}，S_{n-1}=\frac{n}{2}{a}_{n-1}$
$a_n=\frac{n+1}{2}{a}_n-\frac{n}{2}{a}_{n-1}$
$\frac{n}{2}{a}_{n-1}=\frac{n-1}{2}{a}_{n-1}\Rightarrow \frac{a_n}{n}=\frac{a_{n-1}}{n-1}=1\Rightarrow a_n=n$
(2).令$b_n=2^{a_n}$,记数列$\{b_n\}$的前n项和，试求$T_{2n-1}$除以3的余数。