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2、椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点F，过F的直线$l$与C交于A、B两点，若直线$l$的倾角为$\frac{\pi }{3},\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$,则椭圆的离心率为$(\frac{2}{3})$
解：此题目显然是根据题设条件，联立椭圆与直线方程，消去一个变量，然后利用韦达定理，求出$a\mathrm{与}c$ 的关系。
直线$l$过左焦点$(-c,0)$,可以设点斜式直线方程，也可以设“倒斜截式”方程。课本只有斜截式直线方程公式$y=kx+b$,此式与椭圆联立方程常常用于消y留x，如果要消ｘ留ｙ，直线方程用$x=my+a$,这里ｍ是斜率的倒数，ａ是直线在ｘ轴的截距。左焦点正是直线在ｘ轴的截距，因而设“倒斜截式”直线方程为$x=\frac{\sqrt{3}}{3}y-c,$与椭圆交点坐标为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{先}\mathrm{去}\mathrm{分}\mathrm{母}\Rightarrow b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$联立直线方程消x，得：(联立方程消元过程，如果不先对椭圆方程去分母会增加出错机率)
$b^2(\frac{1}{\sqrt{3}}y-c{)}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2\Rightarrow b^2(\frac{1}{3}{y}^2-\frac{2}{\sqrt{3}}cy+c^2)+a^2{y}^2=a^2{b}^2$
式有分母$3\mathrm{和}\sqrt{3},3\mathrm{是}\sqrt{3}$的倍数，因此，去分母两边乘以3,得
$(3a^2+b^2)y^2-2\sqrt{3}{b}^{2}cy-3b^4=0$
韦达定理：$y_1+y2=\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{3a^2+b^2},y_1\cdot y_2=\frac{-3b^4}{3a^2+b^2}$
到此为至，由韦达定理，得到根与系数的关系，但是我们要求的是 椭圆的参数a、b、c 的关系。
三个参数，要有三个方程才能具体解得abc的数值，但求离心率并不需要求出具体值，只要求三者的关系。椭圆关系已有一个式子，$a^2=b^2+c^2$如果再得到一个式子，即可求出三者关系了。显然上面韦达定理得到的根与系数，并没有得到三者的等式关系。
题目中还有一个条件$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$没有利用上。显然有：$y_1=-2y_2\Rightarrow \frac{y_1}{y_2}=-2$
两根商如果与两根之和与积扯上关系？！我们巧妙地利用商与商的倒数
$\frac{y_1}{y_2}+\frac{y_2}{y_1}=\frac{y_1^2+y_2^2}{y_1{y}_2}=\frac{(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2}{y_1{y}_2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow -\frac{5}{2}=\frac{(y_1+y_2{)}^2}{y_1{y}_2}-2\Rightarrow \frac{(y_1+y_2{)}^2}{y_1{y}_2}=-\frac{1}{2}$

$\frac{(\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{3a^2+b^2}{)}^2}{\frac{-3b^4}{3a^2+b^2}}=\frac{(2\sqrt{3}{b}^{2}c{)}^2}{(3a^2+b^2{)}^2}\cdot \frac{3a^2+b^2}{-3b^4}=\frac{12b^4{c}^2}{3a^2+b^2}\cdot \frac{1}{-3b^4}$
$\Rightarrow \frac{12b^4{c}^2}{3a^2+b^2}\cdot \frac{1}{-3b^4}=\frac{-4c^2}{3a^2+b^2}=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{-4c^2}{3a^2+b^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow 8c^2=3a^2+a^2-c^2\Rightarrow 9c^2=4a^2\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$

已知抛物线C:$y^2=4x$与定点P(2,1),线$l$过定点P，与抛物线交于A、B两点，且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{7}\overrightarrow{PB}$,则直线斜率为$\frac{1}{2}\mathrm{或}-1$