一、坐标系的平移变化

定义

坐标原点发生变化，而坐标轴的方向不发生改变，这样的变化成为_坐标系的平移变化_。

分析

记平移后的坐标原点为 O′(h,k)， 取坐标系上任一点 P(x,y)， 利用平面向量，有

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }P}$$

即

$$(x,y)=(h,k)+(x\prime ,y\prime )$$

因此，得到平移后的坐标与原坐标的关系式如下
$\{\begin{array}{l}x=x^{{}^{\prime }}+h\\ y=y^{{}^{\prime }}+k\end{array}(1)\mathrm{或}\{\begin{array}{l}x-h=x^{{}^{\prime }}\\ y-k=y^{{}^{\prime }}\end{array}(2)$
我们称 (1) 式和 (2) 式为_平移公式_。

示例

问题

将坐标原点 O 点平移至 O′(2,−3), 求以下各项在新坐标系中的方程。

1. 点 A(4,6);
2. 直线 x+3y=2;
3. 曲线 $9x^2+4y^2-36x+24y-36=0.$

解答

根据平移公式，平移前后的坐标有以下关系

$\{\begin{array}{l}x=x^{{}^{\prime }}+2\\ y=y^{{}^{\prime }}-3\end{array}(1)\mathrm{或}\{\begin{array}{l}x-2=x^{{}^{\prime }}\\ y+3=y^{{}^{\prime }}\end{array}(2)$

1. 由(2)式，得

$$\{\begin{array}{l}x-2=x^{{}^{\prime }}=0\\ y+3=y^{{}^{\prime }}=6+3=9\end{array}$$

故平移后的坐标为 A(0,9)
2. 由(1)式，得
(x′+2)+3(y′−3)=2
整理得，平移后的直线方程为
x+3y=9
3. 由(1)式, 得

$$9(x\prime +2{)}^2+4(y\prime -3{)}^2-36x\prime +24y\prime -36=0$$

整理得， 平移后的曲线方程为$$9x^2+4y^2−36=0$$即

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$$

可知，该曲线为对称中心在 O'(2, -3) 的椭圆。
# 二、坐标系的旋转变化

定义

保持原点及坐标轴的夹角不变，将两坐标轴绕原点（逆时针）旋转同一角度的变化，称为_坐标系的旋转变化_。

分析

将坐标系 Oxy 逆时针旋转 θ 得到新坐标系 Ox′y′, 则 x′, y′ 正半轴上的单位向量为

$$\overrightarrow{e_1}=(cos\theta ,sin\theta )$$$$\overrightarrow{e_2}=(-sin\theta ,cos\theta )$$

则点 P(x,y) 在新坐标系的坐标即为 OP→ 在两个单位向量上的_投影_

$$x^{\prime }=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{e_1}=x\cos \theta +y\sin \theta$$$$y^{\prime }=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{e_2}=-x\sin \theta +y\cos \theta$$

因此我们可以得到旋转公式
$\{\begin{array}{l}x=x^{{}^{\prime }}\cos \theta -y{}^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{{}^{\prime }}\sin \theta +y^{{}^{\prime }}\cos \theta \end{array}$或$\{\begin{array}{l}{x}^{{}^{\prime }}=x\cos \theta +y\sin \theta \\ y^{{}^{\prime }}=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$

示例

问题

将坐标系 Oxy 旋转 45°, 求以下各项在新坐标系中的方程。

1. 点 B(6,−1);
2. 直线 x+3y=2;
3. 曲线 x2+y2−6xy+4=0.

解答

根据旋转公式，旋转前后的坐标有以下关系

或或{x=22x′−22y′y=22x′+22y′ (1) 或 {x′=22x+22yy′=−22x+22y (2)

1. 由(2)式，得

   {x′=22x+22y=522y′=−22x+22y=−722

   故旋转后的坐标为 A(522,−722)

2. 由(1)式，得

   (22x′−22y′)+3(22x′+22y′)=2

   整理得，旋转后的直线方程为

   2x+y=2

3. 由(1)式, 得

   (22x′−22y′)2+(22x′+22y′)2−6(22x′−22y′)(22x′+22y′)+4=0

   整理得， 旋转后的曲线方程为

   x2−2y2−2=0

   即

   x22−y2=1

   可知，该曲线为对称轴为直线 y=x 的双曲线