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解方程$(x+1)e^{2x}=-1,\mathrm{构}\mathrm{造}f(x)=(x+1)e^{2x}+1,$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)={[x+1]}^{\prime }{e}^{2x}+(x+1){[e^{2x}]}^{\prime }=e^{2x}+2(x+1)e^{2x}=e^{2x}(2x+3)$
令$\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^{2x}(2x+3)=0,\Rightarrow x=-\frac{3}{2},\mathrm{当}x<-\frac{3}{2}\mathrm{时}，f^{\prime }(x)<0,$
$f(x)\searrow ;\mathrm{当}x>-\frac{3}{2}\mathrm{时}，f^{\prime }(x)>0,f(x)\nearrow ;\therefore f(x)\mathrm{在}x=-\frac{3}{2}\mathrm{时}\mathrm{有}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}，f(x{)}_{min}=f(-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}{e}^{-3}+1>0$
$\mathrm{显}\mathrm{然}，e^{-3}<e^0=1,\therefore f(-\frac{3}{2})>\frac{1}{2}.$
$f(x)\mathrm{恒}\mathrm{大}\mathrm{于}0,\mathrm{故}\mathrm{方}\mathrm{程}f(x)=0\mathrm{无}\mathrm{解}$